Αρχή Κιβωτισμένων Διαστημάτων
Η ιδέα
Ας πούμε ότι έχουμε άπειρα κλειστά διαστήματα, το ένα μέσα στο άλλο.
Αν υποθέσουμε ότι το μήκος των διαστημάτων τείνει στο μηδέν, τότε τι μορφή περιμένουμε να έχει η τομή όλων των διαστημάτων;
Η τομή των πρώτων δύο διαστημάτων είναι απλά το δεύτερο διάστημα. i Γιατί το δεύτερο διάστημα είναι μέσα στο πρώτο
Αντίστοιχα, η τομή των πρώτων τριών διαστημάτων είναι απλά το τρίτο διάστημα, κλπ.
Η τομή όλων των άπειρων διαστημάτων είναι οι αριθμοί που βρίσκονται μέσα σε όλα αυτά τα διαστήματα. Ουσιαστικά, η άπειρη τομή είναι το "όριο" των κιβωτισμένων διαστημάτων!
Η Αρχή Κιβωτισμένων Διαστημάτων
Επομένως, περιμένουμε ότι η άπειρη τομή θα είναι το απλά το $\{x\}$. Η Αρχή Κιβωτισμένων Διαστημάτων μας λέει ακριβώς αυτό, προσθέτοντας απλά και μια πιο γενική περίπτωση:
Έστω $[\alpha_1, \beta_1] \supseteq [\alpha_2, \beta_2] \supseteq \dots \supseteq [\alpha_n, \beta_n] \supseteq \dots$ μια φθίνουσα ακολουθία κλειστών, φραγμένων διαστημάτων.
Τότε $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} [\alpha_n, \beta_n] \neq \emptyset$.
Επιπλέον, αν $\beta_n - \alpha_n \to 0$, τότε το $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} [\alpha_n, \beta_n]$ είναι μονοσύνολο.
Εύρεση της τομής
Όταν το μήκος των διαστημάτων δεν τείνει στο 0, η άπειρη τομή περιμένουμε να είναι ένα νέο διάστημα, που είναι ίσα ίσα μικρότερο από όλα τα υπόλοιπα.
Για να κάνουμε την απόδειξη, θα πρέπει:
- Να παρατηρήσουμε ότι μπορούμε να περιγράψουμε με κάποιον τρόπο αυτό το διάστημα...
- Να αποδείξουμε ότι αυτό το διάστημα είναι η τομή.
Πώς μπορούμε να περιγράψουμε τα δύο άκρα του διαστήματος;
Απόδειξη
Τα άκρα της τομής φαίνεται να είναι τα όρια των άκρων των κιβωτισμένων διαστημάτων.
Με άλλα λόγια, αν ονομάσουμε $\alpha$ και $\beta$ τα όρια των ακολουθιών $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ και $(\beta_n)_{n \in \mathbb{N}}$ αντίστοιχα, περιμένουμε ότι η τομή θα είναι το $[\alpha, \beta]$.
Ο ορισμός αυτός είναι σωστός, γιατί οι ακολουθίες $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ και $(\beta_n)_{n \in \mathbb{N}}$ είναι μονότονες και φραγμένες.
Π.χ., η $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ είναι αύξουσα γιατί τα διαστήματα είναι κιβωτισμένα (και έτσι $\alpha_{n+1} \in [\alpha_n, \beta_n] \forall n \in \mathbb{N}$, οπότε $\alpha_{n+1} \geq \alpha_n \forall n \in \mathbb{N}$).
Και επιπλέον, είναι άνω φραγμένη από το $\beta_1$ (ή οποιοδήποτε άλλο $\beta_n$). ? Πώς μπορούμε να αιτολογήσουμε πλήρως το ότι είναι άνω φραγμένη από το $\beta_1$;
Απόδειξη της Ισότητας
Για να αποδείξουμε ότι δύο σύνολα αριθμών είναι ίσα, πρέπει να δείξουμε πως:
- ό,τι περιέχεται στο πρώτο, θα περιέχεται και στο δεύτερο και
- ό,τι περιέχεται στο δεύτερο, περιέχεται και στο πρώτο.
Για το πρώτο μέρος, επιλέγουμε ένα οποιοδήποτε $x$ μέσα στην $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} [\alpha_n, \beta_n]$.
Γιατί το $x$ θα είναι μικρότερο από το $\beta$ και μεγαλύτερο από το $\alpha$;
Ολοκλήρωση της ισότητας
Το δεύτερο μέρος της ισότητας είναι πιο εύκολο.
Θεωρούμε ένα στοιχείο $x \in [\alpha, \beta]$ και θέλουμε να δείξουμε ότι $x \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} [\alpha_n, \beta_n]$.
Δηλαδή ότι το $x$ ανήκει σε όλα τα διαστήματα $[\alpha_n, \beta_n]$.
Όμως, το ότι το $x$ ανήκει στο $[\alpha, \beta]$, σημαίνει ότι $x \leq \beta$ και, αφού η $(\beta_n)_{n \in \mathbb{N}}$ είναι φθίνουσα που συγκλίνει στο $\beta$, $x \leq \beta \implies x \leq \beta_n, \forall n \in \mathbb{N}$.
Αντίστοιχα βγαίνει και ότι $x \geq \alpha_n, \forall n \in \mathbb{N}$.
Ολοκλήρωση της απόδειξης
Τώρα που βρήκαμε την τομή, όλα τα υπόλοιπα είναι πιο απλά!
Η τομή είναι μη κενή, γιατί είναι το διάστημα $[\alpha, \beta]$. ? Ένα σημείο με λίγες τεχνικές δυσκολίες που μπορείς να προσπαθήσεις να αιτιολογήσεις, είναι το γιατί $\alpha \leq \beta$.
Επιπλέον, η περίπτωση που το μήκος $\beta_n - \alpha_n$ τείνει στο μηδέν, μας δίνει τα εξής: Η ακολουθία $\beta_n - \alpha_n$ συγκλίνει ούτως ή άλλως στο $\beta - \alpha$.
Έτσι, μέσω της μοναδικότητας ορίου, η πληροφορία που μας δόθηκε για το μήκος, μεταφράζεται στο συμπέρασμα $\alpha = \beta$.
Το οποίο μας λέει ότι το $[\alpha, \beta] = \{x \in \mathbb{R} \mid \alpha \leq x \leq \beta\} = \{x \in \mathbb{R} \mid \alpha \leq x \leq \alpha\} = \{\alpha\} = \{\beta\}$, και άρα η τομή είναι μονοσύνολο. i Εδώ χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό του διαστήματος, για να αιτιολογήσουμε ότι $[\alpha, \alpha] = \{\alpha\}$.
Σημείωση για τις ασκήσεις
Η Αρχή Κιβωτισμένων Διαστημάτων δεν εμφανίζεται πολύ συχνά στις ασκήσεις.
Όταν όμως εμφανίζεται, γενικά είναι εμφανές ότι πρέπει να στραφούμε σε αυτήν, γιατί η εκφώνηση μας μιλάει για διαστήματα.